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分形几何，处处惊艳，超凡脱俗！

返朴 2019-11-20 浏览7次

生成令人目眩的分形图案的数学原理非常简单。

撰文 | 民间数学家

1、如此复杂、精细的图形

首先请先欣赏下面这幅图：

这幅图给人的第一印象是非常精细，而且细心的朋友可能会发现，这幅图的许多小部分放大后和整体非常相似。

比如我们把上图画框的部分放大，大家看：

再画个小框放大！里面还是大有乾坤！

这种图形的精细之处在于：无论你把哪个局部放大，无论你放大多少倍，你都会看到和整体类似的图形。

大家可以想象一下，这个图形到底有多复杂、多精细。而我要告诉大家的是，生成这个图形背后的数学原理非常简单！同样的数学原理，可以生成许许多多这样的图形（大量精美图片放在文章第三节，读者可先跳过欣赏）。

2、背后的数学原理

为了理解这些图像背后的数学原理，我们需要三个关于复数的基础知识。

还记得这个方程吗？初中数学老师告诉我们这个方程无解，因为不论是正数还是负数，它们的平方都大于零。

上了高中后，高中数学老师却告诉我们这个方程有个虚数解，然后开始引入复数。

一、复数，指形如 x+yi 的数，其中x，y是实数，而i是满足i?=-1 的虚数。复数的加法非常简单：(x+yi)+(u+vi)=(x+u)+(y+v)i 。乘法稍稍有点复杂，但其实都是由公式 i?=-1 推导出来的。

比如

i?(2-i)=1+2i；i?(1+i)=-1+i；

(1+i)?=1+2i+i?=2i

一般的复数乘法公式是：

(x+yi)(u+vi)=(xu-yv)+(xv+yu)i

二、复数z=x+yi的模ⅠzⅠ是定义为：

两个复数的乘积的模等于它们的模的乘积。

这个结论可以由复数乘法公式和下面公式直接得到：

还记得初中时学过的一个重要知识吗：所有实数和数轴上的所有点一一对应？其实复数也有类似的说法。

三、复数和坐标平面上的点一一对应，复数 x+yi 对应坐标为(x，y)的点。根据勾股定理，复数的模就是对应的点到坐标原点的距离。

所以接下来我们会把复数看成平面上的点，平面上的点也会看成复数，重要的事情说三遍：

复数就是平面上的点！

现在我们可以来讲述精美图形背后的数学原理了。首先，给定一个固定的二次多项式 f(x)=x?+c ，其中c是固定的复数。接下来，任意的一个复数z，代入到多项式f(x)中，都会得到一个新的复数 f(z)=z?+c ，再把这个新的复数再代入到多项式f(x)中，又会得到一个新的复数 f(f(z))=(z?+c)?+c ，

一直这样做下去，就会得到一个无穷的复数序列，也就是平面上的无穷多个点。

如果这无穷多个点都落在某个以原点为圆心的圆内（说得专业一点就是，如果这无穷多个点是有界的）

也就是说，如果这些复数的模都会小于某个正数R的话，那我们就称 z 为良好点。所有的良好点构成的集合称为多项式 f 的填充朱丽叶集（filled Julia set），填充朱丽叶集的边界称为多项式 f 的朱丽叶集（Julia set）。