硬核预警：量子力学的九种形式

本文介绍非相对论量子力学的九种形式。它们分别是波动形式，矩阵形式，路径积分形式，相空间形式，密度矩阵形式，二次量子化形式，变分形式，导航波形式和哈密顿-雅可比形式。同时还提到多世界诠释和交易诠释的理论。总体上来看这几种形式在数学表示上以及概念上都有明显的区别，但它们却对实验结果做出了完全相同的预测。

作者|Daniel F. Styer .etc

翻译|Camel

审校|陈星

一、为什么关心多种表示形式？

经典力学的高级课程会花费很多时间来探讨经典力学的各种形式——牛顿力学，拉格朗日力学，哈密顿力学，最小作用量原理等（可以参见附录A）。但这些在高级量子力学课程上却没有出现！事实上，甚至在研究生课程中也都在一致地强调波动形式，而几乎不重视其它几种形式。之所以这样做，原因是显而易见的——即使只学习量子力学的一种形式都已经很难了。但必定有聪明的同学会有疑问，既然我们能学几种经典力学的形式，那么为什么就不能学几种量子力学的形式呢。本文介绍了九种量子力学的形式。

既然这些力学形式会对实验结果给出完全相同的预测，我们为什么还要学这么多呢？我想至少有三个原因使我们需要学习它们。第一，有些问题用一种形式表示很困难，而用另一种形式表示则将变得容易得多。例如经典力学中拉格朗日力学允许出现广义坐标，在很多情况下它要比牛顿力学容易一些。第二，不同的形式将给人以不同的视角。例如在经典力学中牛顿力学和最小作用量原理分别用不同的图示来展现“世界是怎么运行的”。第三，不同的形式在不同的情形下很容易推广到新的理论中。例如，拉格朗日力学可以相当容易地从保守经典力学推广到保守相对论力学，而牛顿力学则可以很容易地从保守经典力学中推广到经典耗散力学。正如化学家E.Bright Wilson所说：

“我过去常常去找J.H.Van Vleck，向他请教量子力学方面的问题。我发现他非常有耐心，而且非常乐于帮助我。但有时他会用一种混合了波动力学，算符积分以及矩阵运算的大杂烩给我讲，这让我这个勉强是薛定谔方程新信徒的人倍感苦恼。我不得不学着用另一种语言来思考，当然这些对我来说也是绝对有必要的。”

当然想要历数这些形式，不可避免地要分清什么是量子力学的“形式（formulations）”，什么是量子力学的“诠释（interpretations）”。我们在此的目的只是去分清不同的数学形式，但数学形式还是会影响概念的解释（或受概念解释的影响），所以这种区分方法的轮廓绝不可能是清晰的。我们也意识到别的人可能会有完全不同的划分方法。此外还有一个附加的困惑，哥本哈根解释这个术语包含甚广，但定义却非常不严格。例如哥本哈根的两个主要奠定者之一维纳 . 海森堡曾说过“位置的观测会影响动量”，而尼尔斯.波尔则特别反对“相”的概念，我们经常会发现他在物理著作中提到诸如“测量会干扰现象”的话。

附录A：经典力学的各种形式

我们知道的经典力学的形式有以下几种：

牛顿力学

拉格朗日力学

哈密顿力学

哈密顿原理（费曼和朗道称作最小作用量原理）

莫陪督最小作用量原理（也与欧拉、拉格朗日、雅可比等人有关）

最小约束（高斯）

最小曲率（赫兹）

吉布斯-阿佩尔

泊松括号

朗格朗日括号

刘维尔方程

哈密顿-雅可比方程

这些形式在任何一本经典力学教科书中都或多或少地谈论过。在这本书中有对它们清晰、广泛地研究：

E. T. Whittaker, A Treatise on the Analytical Dynamics of Particles and Rigid Bodies, 4th ed. Cambridge University Press, Cambridge, UK, 1937 .

二、九种形式

1、矩阵形式（海森堡）

沃纳·海森堡

量子力学的矩阵形式，由海森堡于1925年发展出来。这是第一种被发现的量子力学形式。而现在广泛被应用的薛定谔的波动形式则比矩阵形式的发现晚大概六个月。

在矩阵形式中特别强调算符的地位，本征问题在其中看起来是如此地自然。但人们也发现了它在计算含时变量或考虑全同粒子时却不那么自然了。这些问题在随后二次量子化中则可以很自然地解决。

含时性

应用

在很多应用上（或许是大多数），波动力学相较矩阵力学都更直接。但一个例外是，对于谐振子的问题，波动力学要用晦涩难懂的厄密多项式来解决，而矩阵力学的算符分解的技巧（升、降阶算符）则要清晰容易的多。同样，在角动量的讨论中也用到了相同的技巧。更广义的分解方法（下面Green的书中有描述）可以解决更广义的问题，不过其带来的复杂性也使得用波动方程看起来更经济一些。

推荐参考

现代对量子力学的处理大多是混合了波动和矩阵形式，但更强调波动的一面。若想参考那些较为强调矩阵形式的文献，我们推荐

1. H. S. Green, Matrix Mechanics P. Noordhoff, Ltd., Groningen, The Netherlands, 1965 .

2.T. F. Jordan, Quantum Mechanics in Simple Matrix Form Wiley, New York, 1986 .

历史

矩阵力学形式是多种量子力学形式中第一个被发现的。原始文献有

3. W. Heisenberg, “Uber die quantentheoretische Umdeutung kinematis- cher und mechanischer Beziehungen”, “Quantum-theoretical re- interpretation of kinematic and mechanical relations” , Z. Phys. 33, 879–893 1925 .

4. M. Born and P. Jordan, “Zur Quantenmechanik,” “On quantum me- chanics” , Z. Phys. 34, 858 – 888 1925 .

5. M. Born, W. Heisenberg, and P. Jordan, “Zur Quantenmechanik II”, Z. Phys. 35, 557–615 1926 .

这三篇文献（还有一些别的）被译成英文

6. B. L. van der Waerden, Sources of Quantum Mechanics North-Holland, Amsterdam, 1967 .

不确定原理在该理论成型两年后提出

7. W. Heisenberg, “Uber den anschaulichen Inhalt der quantentheoretis- chen Kinematik und Mechanik”, “The physical content of quantum kinematics and mechanic” , Z. Phys. 43, 172–198 1927 English translation in J. A. Wheeler and W. H. Zurek, editors, Quantum Theory and Measurement Princeton University Press, Princeton, NJ, 1983 , pp. 62 – 84 .

2、波动形式（薛定谔）

埃尔温·薛定谔

相比矩阵形式，量子力学的波动形式把注意力从“可测量”转移到了“态”上。两粒子的系统的态（忽略自旋）数学上表示为一个六维位形空间的复函数，即

这取决于这两个粒子是波色子还是费米子。这个关系对于动量空间的波函数也同样成立。

推荐参考

大多数量子力学的文献都较为强调波函数形式。其中相对较好的教材有

8. L. D. Landau and E. M. Lifshitz, Quantum Mechanics: Non-Relativistic Theory, translated by J. B. Sykes and J. S. Bell, 3rd ed. Pergamon, New York, 1977 .

9. A. Messiah, Quantum Mechanics North-Holland, New York, 1961 .

10. D. J. Griffiths, Introduction to Quantum Mechanics Prentice–Hall, Englewood Cliffs, New Jersey, 1995 .

11. R. W. Robinett, Quantum Mechanics: Classical Results, Modern Sys- tems, and Visualized Examples Oxford University Press, New York, 1997 .

历史

薛定谔在下面这篇文章中第一次写下位形空间中的能量本征方程

12. E. Schro ?dinger, ‘‘Quantisierung als Eigenwertproblem Erste Mittei- lung ,’’ ‘‘Quantization as a problem of paper values part I ’’ , Annalen der Physik 79, 361–376 1926 .

他在五个月之后写下含时方程（他称之为“真正的波动方程”）

13. E. Schro ?dinger, ‘‘Quantisierung als Eigenwertproblem Vierte Mittei- lung ,’’ ‘‘Quantization as a problem of proper values part IV ’’ , An- nalen der Physik 81, 109–139 1926 .

英译版本

14. E. Schro ?dinger, Collected Papers on Wave Mechanics Chelsea, New York, 1978 .

附录B 规范变换

波函数在大多数量子力学讨论中都扮演着中心的角色，以至于我们很容易陷入一种思维模式中，即认为波函数不再是一个数学工具，而是一个物理实体。但考虑一下这个问题，或许我们就不会再这么认为了。假设一个带电粒子（电荷q）在一个电场中运动，电场可以由一个标量势?(x, t)和矢量势A(x, t)描述。那么位形空间的薛定谔方程为

规范变换并没有改变这个系统，不管采用哪一种规范变换，我们计算得到的实验结果都是一样的。然而波函数却实实在在地发生了变化。（其实，概率密度在规范变换下不能也不会改变，所以我们可以随意地选择位相，而位相对干涉的响应有贡献）。

3、路径积分形式（费曼）

理查德·费曼

应用

在非相对论量子力学中，用路径积分直接解决问题往往不会很容易。但另一方面，在物理和化学的其他方面却有大量的应用，特别是在经典量子场论以及统计力学中。例如，在量子体系的蒙特卡罗模拟中，路径积分方法是一个很强大的工具。

15. M. H. Kalos and P. A. Whitlock, Monte Carlo Methods Wiley, New York, 1986 , Chap. 8.

此外，很多人觉得这种形式更有吸引力，因为其数学形式更接近经验——核心是转移概率，而不是观测不到的波函数。因此在教学中路径积分也是很有效的。

16. E. F. Taylor, S. Vokos, J. M. O’Meara, and N. S. Thornber, “Teaching Feynman’s sum over paths quantum theory”, Comput. Phys. 12, 190– 199 1998 .

全同粒子

路径积分的这套程序可以直接推广到多个非全同粒子或几个全同的玻色子。（这里的“路径”现在意味着几个粒子的轨道）不过这套程序却不能同样地直接应用到全同费米子，不然的话费米子和玻色子表现得就完全一样了。

图 1如果两个粒子是全同费米子，那么有交换性的路径的振幅，如III和IV，在求和前必需乘以-1.

这个符号调整对于人类来说并不困难，但对计算机来说却造成了一个很大的挑战（被称之为“费曼符号问题”）。以下量子蒙特卡罗模拟的文献中，有对这个问题的讨论：

17.N. Makri, “Feynman path integration in quantum dynamics”, Comput. Phys. Commun. 63,389-414 1991.

18. S. Chandrasekharan and U.-J. Wiese, ‘‘Meron-cluster solution of fer- mion sign problems,’’ Phys. Rev. Lett. 83, 3116–3119 1999 .

推荐参考

19. R. P. Feynman and A. R. Hibbs, Quantum Mechanics and Path Inte- grals McGraw-Hill, New York, 1965 .

20. D. F. Styer, ‘‘Additions and corrections to Feynman and Hibbs,’’ http:// www.oberlin.edu/physics/dstyer/TeachQM/Supplements.html.

21. L. S. Schulman, Techniques and Applications of Path Integration Wiley, New York, 1981 .

历史

这种形式是在这篇文章里发表的

22. R. P. Feynman, ‘‘Space–time approach to non-relativistic quantum mechanics,’’ Rev. Mod. Phys. 20, 367–387 1948 .

4、相空间形式（魏格纳）

一个限制在一维上的单粒子，魏格纳相空间分布函数为

很多问题，尤其是量子光学上的问题，都可以归入到这里。可以参考如下的文献：

23. D. Leibfried, T. Pfau, and C. Monroe, ‘‘Shadows and mirrors: Recon- structing quantum states of atom motion,’’ Phys. Today 51, 22–28 1998 .

24. Y. S. Kim and W. W. Zachary, editors, The Physics of Phase Space Springer-Verlag, Berlin, 1987 .

建议参考

25. Y. S. Kim and E. P. Wigner, ‘‘Canonical transformation in quantum mechanics,’’ Am. J. Phys. 58, 439–448 1990 .

26. M. Hillary, R. F. O’Connell, M. O. Scully, and E. P. Wigner, ‘‘Distribution functions in physics: Fundamentals,’’ Phys. Rep. 106, 121–167 1984 .

历史

相空间形式由此文首次提出

27. E. P. Wigner, ‘‘On the quantum correction for thermodynamic equilibrium,’’ Phys. Rev. 40, 749–759 1932 .

推荐参考

28. U. Fano, ‘‘Description of states in quantum mechanics by density matrix and operator techniques,’’ Rev. Mod. Phys. 29, 74–93 1957 .

29. K. Blum, Density Matrix Theory and Applications, 2nd ed. Plenum, New York, 1996 .

历史

密度矩阵在此文首次提出。

30. J. von Neumann, ‘‘Wahrscheinlichkeitstheoretischer Auf bau der Quan- tenmechanik,’’

‘‘Probability theoretical arrangement of quantum me- chanics’’ , Nachr. Ges. Wiss. Goettingen,245–272 1927 , reprinted in Collected Works Pergamon, London, 1961 , Vol. 1, pp. 208–235.

6、二次量子化形式

这种形式起重要作用的是生成和湮灭（粒子）算符。其发展与量子场论有关，在量子场论中这些作用（生成／湮灭）是真实的物理效应（例如，一个电子和一个正电子湮灭生成一个质子）。不过这种形式却有着广泛的应用领域，特别是可以应用到系统包含大量（但却恒定）全同粒子的多粒子理论当中。

这种形式不幸的名字要归因于历史原因——是站在非相对论量子力学的角度起的名字。更好的名字应该叫“占有数形式”。

这个表达式在交换下既不是对称的也不是反对称的，所以这个表达式不会是任何全同粒子的量子态。但波函数形式并没有提供任何明显的警告说这个表达式是不合法的。而作为对比，在二次量子化形式中，根本就不可能写出一个像上面这样的表达式——对称性（或反对称性）会通过生成算符的对易关系（或反对易关系）自动具备，所以在二次量子化形式中只有合法的态才会被表达。由于这个原因，二次量子化形式在多粒子理论中被广泛的使用。

推荐参考

31. H. J. Lipkin, Quantum Mechanics: New Approaches to Selected Topics North-Holland,Amsterdam, 1986 , Chap. 5.

32. V. Ambegaokar, ‘‘Second quantization,’’ in Superconductivity, edited by R. D. Parks MarcelDekker, New York, 1969 , pp. 1359–1366.

33. W. E. Lawrence, ‘‘Algebraic identities relating f irst- and second- quantized operators,’’ Am. J.Phys. 68, 167–170 2000 .

这本书中有对二次量子化形式应用的广泛讨论:

34. G. D. Mahan, Many-Particle Physics, 3rd ed. Kluwer Academic, New York, 2000 .

历史

二次量子化由狄拉克研究光子时引入，随后由约旦（Jordan）和克莱因（Klein）扩展到有质量玻色子，由约旦和魏格纳扩展到费米子。

35. P. A. M. Dirac, ‘‘The quantum theory of the emission and absorption of radiation,’’ Proc. R.Soc. London, Ser. A 114, 243–265 1927 .

36. P. Jordan and O. Klein, ‘‘Zum Mehrko ?rperproblem der Quantentheo- rie,’’ ‘‘On themany-body problem in quantum theory’’ , Z. Phys. 45, 751–765 1927 .

37. P. Jordan and E. Wigner, ‘‘U ? ber das Paulische A ? quivalenzverbot,’’ ‘‘On the Paulivalence line prohibition’’ , Z. Phys. 47, 631–651 1928 .

狄拉克和约旦-魏格纳的文章被重印。

38. J. Schwinger, editor, Selected Papers on Quantum Electrodynamics (Dover, New York, 1958).

7、变分形式

“变分形式”很容易和更为常见的“变分原理” 搞混。后者是给基态能量提供一个限制，而变分形式则可以给描述所有态（不只是基态）及其随时间的演化（不只是能量）提供一个完整的图像。变分形式类似于经典力学中的哈密顿原理。

应用

在实际应用层面，这种形式可以直接和变分原理联系在一起，用来估计基态能量。在基础理论层面，我们注意到场变分技巧常常规定物理规律的形式必须满足洛伦兹不变性。这在以下三个方面扮演着很重要的角色：

1）在电磁理论中

39. J. Schwinger, L. L. DeRaad, Jr., K. A. Milton, and W. Tsai, Classical Electrodynamics Perseus Books, Reading, MA, 1998 , especially Chaps. 8 and 9,

2）在广义相对论（希尔伯特形式）中

40. C. W. Misner, K. S. Thorne, and J. A. Wheeler, Gravitation Freeman, San Francisco, 1973 , Chap. 21,

3）量子场论中

41. C. Itzykson and J.-B. Zuber, Quantum Field Theory McGraw-Hill, New York, 1980 .

正是由于这个原因，现在人们更喜欢以变分形式作为工具把物理拓展到新领域。例如超对称弦／膜：

42. E. Witten, ‘‘Reflections on the fate of spacetime,’’ Phys. Today 49, 24–30 April 1996 .

43. E. Witten, ‘‘Duality, spacetime and quantum mechanics,’’ Phys. Today 50, 28–33 May 1997 .

但是，在以下这些情况中，变分形式并不直接参与其中：

1）具有固有的非相对论性质；

2）涉及时间和共形空间的积分，而不是时间和物理空间的积分。

推荐参考

44. P. M. Morse and H. Feshbach, Methods of Theoretical Physics McGraw-Hill, New York, 1953 , pp. 314–316 and 341–344.

【注意：在这份参考文献中拉格朗日密度的定义与前文中的有相反的符号，所以Morse和Feshbach的积分作用量在正确的波函数下是极大值，而不是极小值】

历史

这种形式源于该文献（同一篇文章，介绍了有质量玻色子的二次量子化）：

45. P. Jordan and O. Klein, ‘‘Zum Mehrko ?rperproblem der Quantentheo- rie,’’ ‘‘On the many-body problem in quantum theory’’ , Z. Phys. 45, 751–765 1927 .

8、导航波形式（德布罗意-波姆）

路易·维克多·德布罗意

我们用一个电子和一个质子（忽略自选）系统的例子来概括导航波形式。在经典力学中这个系统在数学上用三维中两个点的运动轨迹来描述。在波函数形式中这个系统由包含六维共形空间的复值波函数描述。在导航波形式中这个系统则同时由物理空间中的两点和共形空间中的波函数描述。波函数在此称为“导航波”，这个导航波（依据其经典势能函数）给两个点提供信息告诉它们该怎么运动。

导航波形式最常引用的版本是波姆的（但也应该看一下Durr，Goldstein、Zanghi等的版本）。在波姆的版本中波函数的形式为

应用

要用导航波形式，我们必须同时计算轨迹和波函数，所以并不奇怪，在计算上对于大部分问题这种形式都是非常复杂的。例如双缝干涉现象，这个常常会在大二现代物理问题中用波函数形式解决，但在导航波形式中则需要很高的计算技巧：

46. C. Philippidis, C. Dewdney, and B. J. Hiley, ‘‘Quantum interference and the quantum potential,’’ Nuovo Cimento Soc. Ital. Fis., B 52, 15–28 1979 .

但另一方面，导航波形式在考虑量子力学基本特性的问题上却很有效。例如贝尔（John Bell）关于定域性的划时代理论，其量子理论就受到导航波形式的启发。且很多聪明的研究者发现导航波形式本身具有很深刻含义。例如：

47. J. S. Bell, ‘‘Six possible worlds of quantum mechanics,’’ in Possible Worlds in Humanities, Arts and Sciences: Proceedings of Nobel Sympo- sium 65, 11–15 August 1986, edited by S. Alle ?n Walter de Gruyter, Berlin, 1989 , pp. 359 – 373. Reprinted in J. S. Bell, Speakable and Unspeakable in Quantum Mechanics Cambridge University Press, Cambridge, UK, 1987 , Chap. 20, pp. 181–195.

48. H. P. Stapp, ‘‘Review of ‘The Undivided Universe’ by Bohm and Hi- ley,’’ Am. J. Phys. 62, 958–960 1994 .

推荐参考

49. D. Bohm, B. J. Hiley, and P. N. Kaloyerou, ‘‘An ontological basis for the quantum theory,’’ Phys. Rep. 144, 321–375 1987 .

50. D. Bohm and B. J. Hiley, The Undivided Universe: An Ontological Interpretation of Quantum Theory Routledge, London, 1993 .

51. D. Du ?rr, S. Goldstein, and N. Zangh ??, ‘‘Quantum equilibrium and the origin of absolute uncertainty,’’ J. Stat. Phys. 67, 843–907 1992 .

历史

路易斯.德.布洛意在1927年索维会议上首次提出这种形式。但该想法的主要发展开始于：

52. D. Bohm, ‘‘A suggested interpretation of the quantum theory in terms of ‘hidden’ variables, I and II,’’ Phys. Rev. 35, 166–179 and 180–193 1952 .

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标题：硬核预警：量子力学的九种形式 网址：http://www.jrxk.cn/view/183683.html

发布媒体：好百科 作者：返朴